Penachos de Ouro

Este é um problema de lógica que tive numa aula de matemática avançada, no cursinho pré-vestibular (Anglo) em 1999. Que eu me lembre, o professor (Rosso) disse que foi um dos 5 problemas apresentado em uma olimpíada de matemática para crianças até 16 anos (ou seja, ginasial, ou atualmente conhecido como ensino médio). Abaixo está minha adaptação do que eu lembro do enunciado do problema. Isso por que lembro perfeitamente da resposta, mas como faz anos que não toco no assunto, não lembro exatamente das minúcias do enunciado, e não sei bem das possíveis consequëncias de modificar um detalhe ou outro. Acontece que, na aula em si, não teve um enunciado escrito, ele simplesmente contou o problema, e foi polindo: conforme perguntávamos coisas que poderiam ser possíveis, ele ia dizendo dedutivamente o que era válido imaginar, e o que não era. Não sei como teria sido apresentado na suposta olimpíada.

Um Enunciado

Imagine um planeta desconhecido, em um universo qualquer, que tem uma sociedade de aves com penachos de ouro. Essas aves não conseguem voar nem olhar para o próprio penacho. As aves tampouco falam ou conversam, mas vivem em harmonia e cada uma dorme em sua casa separadamente.

O planeta é inteiramente repleto somente com essas aves, e elas são seres extremamente inteligentes. Apesar de não conseguirem se comunicar umas com as outras, elas estão sempre juntas, logo, ao longo do dia, todas aves terminam vendo umas às outras. Todas dormem e acordam pontualmente no mesmo horário.

Há uma cultura nessa sociedade na qual quando uma ave percebe que perdeu seu próprio penacho de ouro, independente do motivo ou razão, esta ave se matará na manhã seguinte, logo depois de acordar. Não há formas dessa enxergar o próprio penacho, nem o próprio reflexo. Não há espelhos, nem lagos no planeta.

Neste planeta, que não é muito grande, vivem somente 7 aves.

Numa bela noite, um caçador de recompensas chega despercebido, depois que todas aves foram dormir, rouba dois penachos de ouro, 1 de cada ave, e sai antes do amanhecer, mas deixa um penacho cair no chao. Ao amanhecer 5 aves têm seus penachos no lugar e 2 não. Todas eventualmente percebem o penacho no chão.

A pergunta é: quantos dias levarão até que as 2 aves sem penacho se matem e por que?

Uma Pequena Análise

Somente as duas que perderam o penacho se matarão, com certeza, assim que conseguirem deduzir que foram elas próprias que perderam, já que, como foi dado, elas não têm outra forma de perceber que estão sem o penacho além de racionalizar.

A resposta é simples e direta. N dias, N sendo um número natural. O problema está em responder "por que". Isto não é um exercício de múltipla escolha.

Reposta

Coloquei a resposta, junto com alguns links, num novo post. Desculpe pela leve demora de mais de 4 anos para trazê-la aqui, se é que alguém ficou com a pulga atrás da orelha esse tempo todo!